חידה מתמטית לחידוד השכל ופיתוח המחשבה
החידה שלהלן הועתקה מהספר אמרי בינה להרב יוסף חיים בעל הבן איש חי, בחלק חידוד במילי דעלמא שאלה י:
חידה:
"שאלה אחרת שואלים העולם וזו היא, במרחץ נכנסו ארבעים אנשים מהם יהודים ומהם ישמעאלים, ומהם נוצרים, וכך היה מנהגם ליתן שכר המרחץ:
היהודים – כל אחד ארבעה איסרין,
והנוצרים – כל אחד שני איסרין
והישמעאלים – כל ארבעה ישמעאלים באיסר אחד.
ולעת ערב מנה בעל המרחץ את האיסרין ומצא שהם ארבעים. ואז מובן מזה כמה יהודים נכנסו וכמה ישמעאלים וכמה נוצרים. תאמר אתה כמה היו (כמה נכנסו אנשים משלושת הקבוצות למרחץ)".
תשובה: יש כמה פתרונות אפשריים
הדרך לפתרון
- 1 יהודי משלם 4 איסרין נסמן באות x
- 1 נוצרי משלם 2 איסרין נסמן באות y
- 4 ישמעאלים משלמים 4 איסרין ונסמנם באות z
הנחות יסוד:
- יש לנו כעת משוואה עם שלושה נעלמים 4x+2y+z=40
- היות שמובן מהחידה כי נכנסו אנשים מכל הקבוצות שום משתנה אינו יכול להיות שווה 0 ולכן אחד המשתנים חייב להיות אי זוגי והשאר זוגיים
- מאחר שהמשתנים אינם יכולים להיות שווים 0 כלומר הם מספרים חיוביים, נצטרך לפתור את התרגיל בשיטת ההצבה
- מספר הישמעאלים יהיו בכפולות של 4 כלומר (4, 8, 12 וכו')
- נבחר שרירותית ערך לאחד המשתנים ונמשיך את פתרון המשוואה:
שלבי הפתרון:
- נבחר למשל x=5:
- 4(5) – 2y+z=40
- 20 – 2y + z = 40
- 2y + z = 20
- נבחר למשל y=6:
- 2(6) – z = 20
- 12 – z = 20
- z = 8
- לכן, פתרון למשוואה 4x + 2y + z = 40 כאשר אף אחד מהערכים אינם אפס הוא x=5, y=6 ו- z=8
8 ישמעאלים, 5 יהודים, 6 נוצרים -> 8X1 + 5X4 + 6X2 = 8+20+12 =40
פתרונות נוספים
- 12=x=1, y=17, z
- x=3, y=10, z=8
- רבנו יוסף חיים פתר את התרגיל כך: היו יהודי אחד וט"ו נוצרים וכ"ד ישמעאלים (x=1, y=15, z=24)